Introducción a las Series de Fourier
Esta página proporciona una investigación extensa sobre las series de Fourier, desde los fundamentos teóricos hasta sus variantes y aplicaciones.
5.1 Teoría preliminar
1. Funciones periódicas
Una función f(x) es periódica si existe T > 0 tal que f(x + T) = f(x) para todo x.
Ejercicio: Demuestra que f(x) = cos(2x) es periódica y encuentra su periodo.
Solución:
La función cos(kx) tiene periodo T = 2π / k. En este caso, k = 2, así que:
T = 2π / 2 = π.
Verificamos: f(x + π) = cos(2(x + π)) = cos(2x + 2π) = cos(2x) = f(x).
Por lo tanto, f(x) es periódica con periodo π.
2. Condiciones de Dirichlet
Para que una función tenga desarrollo en serie de Fourier, debe ser:
- Periódica
- De variación acotada
- Tener un número finito de discontinuidades y extremos en un periodo
Ejercicio: Verifica si f(x) = |x| cumple con las condiciones de Dirichlet en [−π, π].
Solución:
- f(x) es continua en [−π, π] → cumple.
- Tiene un máximo en x = 0 y es simétrica → cumple.
- Es integrable y definida en todo el intervalo → cumple.
Conclusión: sí cumple las condiciones.
3. Ortogonalidad trigonométrica
Los senos y cosenos son ortogonales en [−L, L] si:
∫ de −L a L sin(nπx/L) · cos(mπx/L) dx = 0
Ejercicio: Verifica que sin(nπx/L) y cos(mπx/L) son ortogonales en [−L, L].
Solución:
Usamos identidad trigonométrica: sinA · cosB = 1/2 [sin(A + B) + sin(A − B)]
La integral de sin múltiplos enteros de π en [−L, L] es cero.
Por lo tanto, sin(nπx/L) y cos(mπx/L) son ortogonales.
4. Coeficientes de Fourier
Se calculan con:
- a₀ = (1 / 2L) ∫ de −L a L f(x) dx
- aₙ = (1 / L) ∫ de −L a L f(x) cos(nπx/L) dx
- bₙ = (1 / L) ∫ de −L a L f(x) sin(nπx/L) dx
Ejercicio: Calcula a₀ para f(x) = x en [−π, π]
Solución:
a₀ = (1 / 2π) ∫ de −π a π x dx = (1 / 2π) · 0 = 0, porque la integral de x simétrica respecto al origen es cero.
5. Espacio L²
Una función pertenece a L² si ∫ |f(x)|² dx es finita.
Ejercicio: ¿Pertenece f(x) = 1 / √x al espacio L² en [0, 1]?
Solución:
Evaluamos ∫₀¹ 1/x dx = ∞ (diverge) → No está en L².
Pero ∫₀¹ 1/√x² = ∫₀¹ 1/x dx diverge, entonces f(x) no está en L².
6. Interpretación geométrica
La serie de Fourier es una proyección de f(x) sobre una base ortogonal como senos y cosenos, como los vectores en un espacio.
Ejercicio: ¿Qué representa bₙ geométricamente?
Solución:
Es la componente de f(x) en la dirección del seno correspondiente, como un producto punto en un espacio vectorial.
7. Aplicaciones
Las series de Fourier se usan en análisis de señales, ecuaciones diferenciales, física, etc.
Ejercicio: Describe una aplicación práctica de las series de Fourier.
Solución:
Se usan en telecomunicaciones para descomponer señales complejas en frecuencias básicas (análisis espectral).
5.2 Series de Fourier
Las series de Fourier permiten expresar funciones periódicas como combinaciones infinitas de senos y cosenos. Se utilizan en física, ingeniería y procesamiento de señales.
1. Definición general
Una función periódica f(x) de periodo 2L se puede expresar como:
f(x) ≈ a₀/2 + ∑ [aₙ cos(nπx/L) + bₙ sin(nπx/L)]
Ejercicio: Encuentra la serie de Fourier de f(x) = x en [−π, π]
Solución:
- La función es impar, por lo tanto, a₀ = 0 y aₙ = 0
- Calculamos bₙ:
bₙ = (1/π) ∫ de −π a π x·sin(nx) dx
La función x·sin(nx) es par, por lo tanto:
bₙ = (2/π) ∫ de 0 a π x·sin(nx) dx
Usamos integración por partes:
u = x ⇒ du = dx
dv = sin(nx) dx ⇒ v = −(1/n) cos(nx)
bₙ = (2/π) [−x·cos(nx)/n + ∫ cos(nx)/n dx] de 0 a π
= (2/π) [−π·cos(nπ)/n + 0 − (1/n²)·sin(nπ)] = (2/π)·(−π·(−1)ⁿ/n)
Entonces: bₙ = (2·(−1)ⁿ)/n
Resultado final:
f(x) ≈ ∑ [(2·(−1)ⁿ)/n] sin(nx)
2. Convergencia
La serie de Fourier converge a f(x) si esta cumple las condiciones de Dirichlet.
Ejercicio: ¿Converge la serie de Fourier de f(x) = x² en [−π, π]?
Solución:
f(x) = x² es continua y tiene derivadas continuas, cumple las condiciones de Dirichlet → la serie de Fourier converge a f(x) para todo x.
3. Aplicaciones
- Análisis de señales eléctricas
- Procesamiento de imágenes
- Solución de ecuaciones diferenciales
Ejercicio: ¿Cómo se usa la serie de Fourier en la ecuación del calor?
Solución:
Se separan variables y se representa la solución como una serie de Fourier que satisface las condiciones de contorno. Cada término representa un modo de vibración o difusión.
4. Ejemplo
Función escalón:
f(x) = 1 si 0 < x < π
f(x) = −1 si −π < x < 0
Ejercicio: Encuentra su serie de Fourier.
Solución:
La función es impar → solo senos:
bₙ = (1/π) ∫ de −π a π f(x)·sin(nx) dx = (2/π) ∫ de 0 a π sin(nx) dx = (2/π)·[1 − (−1)ⁿ]/n
Entonces, solo hay términos impares:
f(x) ≈ ∑ [4 / (nπ)] sin(nx), n impar
5.3 Cosenos, Senos y Medio Intervalo
1. Series de cosenos
Se usan para funciones pares o extendidas como tales en [0, L]:
f(x) = a₀/2 + Σ aₙ cos(nπx / L)
Ejercicio resuelto: Encuentra la serie de cosenos de f(x) = x² en [0, π].
Solución: Se calcula solo con cosenos. Se obtienen los coeficientes aₙ por integración.
2. Series de senos
Se aplican a funciones impares o extendidas como tales:
f(x) = Σ bₙ sin(nπx / L)
Ejercicio resuelto: Serie de senos de f(x) = x en [0, π].
Solución: La extensión impar da:
bₙ = 2(−1)ⁿ⁺¹ / n
3. Medio intervalo
Se elige extender la función en [0, L] como par o impar, según el tipo de condiciones de contorno.
Ejercicio resuelto: Serie de senos para f(x) = x en [0, L].
Solución:
f(x) = Σ [2L(−1)ⁿ⁺¹ / (nπ)] sin(nπx / L)
4. Aplicaciones
Se usan en:
- Vibraciones de cuerdas
- Ecuación del calor
- Sistemas eléctricos periódicos
Ejercicio resuelto: ¿Qué serie usar para una cuerda con extremos fijos y simetría impar?
Solución: Serie de senos, por las condiciones de contorno.